DOCENTE DE APOYO DEL AULA ESPECIALIZADA DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA "OLGA GONZÁLEZ ARRAUT" ADSCRITA A LA SECRETARÍA DE EDUCACIÓN DISTRITAL DE CARTAGENA DE INDIAS, COLOMBIA

RESUMEN

Con el presente documento se divulga la experiencia obtenida en el trabajo diario de un docente de apoyo del aula especializada en lo que concierne a la formación matemática del estudiante ciego integrado a la escuela regular. Experiencia que asume sus referentes desde una perspectiva psico-cultural de la educación propuesta por Jerome Bruner; también valida algunos de los principios y conceptos de la teoría Piagetana (teoría psico-genética) y de la teoría vigotskiana (teoría socio-cultural). Desde esta perspectiva se plantea que para formar al niño ciego desde las matemáticas en el conocimiento matemático se necesitan maestros que, además de poseer el saber matemático, sean investigadores profundos en lo relacionado con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Maestros que se preocupen por potenciar las capacidades del niño puesto que ellas son poderosas herramientas mentales productoras de cultura. Capacidades que lograrán desarrollarse a través del trabajo pedagógico del maestro sólo con la ayuda de mediadores tales como: los bloques lógicos creados por Z. Diennes, las regletas de Cuisinaire, los ábacos abiertos y los bloques multiuso. Estos mediadores permiten, tanto al niño ciego como a los niños videntes, su formación matemática. Para lograr dicha formación, sin embargo, hay que preparar a los niños en la resolución de problemas donde no exista la posibilidad de utilizar un algoritmo.

INTRODUCCIÓN

En un colegio de secundaria localizado en una zona marginada de la ciudad de Cartagena se hallaba integrado un estudiante ciego. Los docentes del colegio se reunieron para debatir el tema de la evaluación del rendimiento académico de los estudiantes. Como era de esperarse, surgió la pregunta de cómo evaluar al estudiante ciego. Cada docente expresó su forma de hacerlo; pero la respuesta del profesor de matemáticas dejó atónitos a algunos de sus compañeros. Sus palabras fueron: "Yo le coloco un seis (6) y así no me complico la vida".

Sin duda alguna, experiencias como ésta se repiten en la mayoría de las escuelas y colegios del país. Algunos maestros dudan de las reales capacidades del niño ciego para aprender, especialmente matemáticas. Otros aunque creen que los ciegos pueden aprender muchas cosas, no cuentan con las herramientas necesarias para orientar a este tipo de estudiantes en el aprendizaje sobre todo el de la matemática. Este documento pretende dar esas orientaciones al maestro regular para que el trabajo pedagógico con el niño ciego integrado sea eficaz, con buenos resultados académicos.

El documento consta de cuatro (4) partes haciéndose en la primera una breve descripción de lo que es la matemática, su carácter abstracto; pero enfatizando la posibilidad de ser enseñada por el maestro y aprendida por los estudiantes, especialmente por el estudiante ciego. en segundo lugar se establece la marcada diferencia que existe entre entrenar al niño, ciego o vidente, en el cálculo aritmético y formarlo desde la matemática en el pensamiento matemático. Luego se resumen las etapas del desarrollo infantil propuestas por el psicólogo suizo Jean Piaget que dan al maestro alguna orientación acerca de lo que puede aprender el niño en una determinada etapa de su vida; evitando así tratar de enseñarle algo que todavía el niño no puede aprender. La parte final del documento contiene algunas vivencias de mi trabajo pedagógico, en el área de la matemática, con niños ciegos integrados en una escuela ordinaria. Éste trabajo, sin embargo, lo he realizado en el aula especializada aunque considero que puede ser llevado a cabo también por el docente regular en el aula. Para ello, hago una descripción de algunos materiales que he adaptado y utilizado con éxito en la clase de matemática con el estudiante ciego; material que puede ser evaluado por el maestro regular analizando la posible implementación del mismo. Quienes a bien tengan leer éste documento, pueden hacer sus críticas las cuales serán analizadas para posibles correcciones o alguna ampliación que pueda hacerse al mismo.

1. Que son las matemáticas?

El filósofo Bertrand Russell afirmó lo siguiente respecto a las matemáticas: "Las matemáticas son aquellas materias en la que no sabemos de qué estamos hablando ni si lo que decimos es verdad"2. No hay duda que con estas palabras Russell se está refiriendo al alto grado de abstracción que caracteriza a las matemáticas, que las hace diferentes y, hasta cierto punto, más difíciles que otras disciplinas. Realmente, si algo caracteriza más a las matemáticas de este siglo XX es precisamente su insistencia en las ideas abstractas.

Un segundo aspecto propio y característico de las matemáticas modernas es su rigor lógico. Hoy día no se puede hablar de matemáticas circunscribiéndola al cálculo aritmético o algebraico. Más bien, hay que profundizar en las estructuras lógico - matemáticas subyacentes a las operaciones y relaciones matemáticas. Este rigor lógico determina el carácter formativo de las matemáticas, es decir, la convierte en una disciplina que enseña a pensar; contribuyendo así a desarrollar intelectualmente al individuo.

También se caracterizan las matemáticas por su lenguaje único y preciso. La adquisición de este lenguaje es de vital importancia para el estudiante ya que ello permite la posibilidad de una verdadera comunicación con su maestro en el aula. Tal comunicación, a su vez, resultará ser el vínculo ideal para que los estudiantes se apropien de los conocimientos matemáticos.

Resumiendo, la matemática de hoy se caracteriza por la importancia que da a las ideas abstractas; por la mayor insistencia en el rigor lógico; por el formalismo de su lenguaje único y preciso; porque ayuda a formar el pensamiento de los individuos. Estas razones podrían hacer pensar que no muchas personas, mucho menos los niños ciegos, tendrían acceso a conocimientos matemáticos. Esta hipótesis, no obstante, carece de validez y no tiene ningún soporte científico. Por el contrario, la mayor prueba de que la matemática es una disciplina científica la da su enseñabilidad, es decir, la posibilidad que tiene de ser enseñada y aprendida por los niños. Lo matemático es producto de la razón cognitiva humana y todo lo racional y argumentable se puede enseñar y ser aprendido.

Ahora bien, respecto a la manera de enseñar las matemáticas Jerome Bruner afirma: "...es posible enseñar cualquier materia a cualquier persona, sea cual fuere su edad, siempre que se haga de forma interesante y sincera"3. Allí entonces queda la sugerencia de Bruner para el docente de matemáticas: presentarla de manera "interesante" no para él sino, para sus alumnos; especialmente si entre éstos hay uno ciego. La presentación verbal de las matemáticas a los niños de la escuela elemental no resulta interesante para ellos. Sería mucho más conveniente que el docente aprovechara el interés lúdico de los niños y transformar la clase de matemáticas en una serie de juegos productivos, es decir, juegos que permitan al niño comprender los conceptos, las relaciones y operaciones matemáticas.

2. Importancia de la formación matemática.

Nadie en la actualidad puede vivir aislado de las matemáticas, ni siquiera las personas ciegas. Hay quienes han definido las matemáticas como un conjunto de reglas y procedimientos para realizar cálculos. Por esto, la destreza en el cálculo es un objetivo básico en la escuela elemental. El conocimiento matemático, no obstante, debe ir mucho más allá del cálculo mecánico y memorístico que se enseña en la escuela y que a poco o nada conduce. Si bien es cierto que el cálculo ayuda al estudiante en el proceso de matematización, no es absolutamente necesario para el logro de esto último. Entrenar al niño en el cálculo mecánico y memorístico sería asemejarlo a las calculadoras electrónicas que hacen las operaciones pero no saben por qué ni cómo las están haciendo. Realmente, esta forma de cálculo hoy no tiene sentido teniendo en cuenta que una calculadora puede realizar operaciones muy complejas que en el pasado demandaban de tiempo y esfuerzo.

Al insistir la escuela en la enseñanza memorística del cálculo no hace más que retroceder a la matemática intuitiva con poco o ningún razonamiento, con mucho énfasis en lo práctico; que tuvieron origen con las culturas primitivas. La enseñanza de las matemáticas hoy tiene otra finalidad, ejercitar la inteligencia de los niños. El fin único de las matemáticas, según Piaget, es desarrollar el pensamiento lógico - matemático de los individuos. Esto significa que el maestro debe enseñar a sus alumnos a pensar en términos matemáticos o, lo que es lo mismo, que aprenda a aprender matemáticas. Las matemáticas así aprendidas contribuirán a la formación del niño; entendiendo dicha formación como un proceso interior en constante desarrollo que va mas allá del cultivo de aptitudes y talentos naturales del individuo.

Ahora bien, no es que considere que el cálculo como tal tenga que ser erradicado de los planes y programas de la enseñanza de las matemáticas ya que, como dije antes, el cálculo ayuda al niño en el proceso de matematización. En éste proceso, más que la intuición, el razonamiento juega un papel esencial. El razonamiento nació con la cultura griega y aún hoy no ha perdido vigencia. El estudiante que es capaz de razonar, que es capaz de pensar en términos matemáticos, llegará a comprobar, como lo hicieron los griegos, que el mundo físico puede describirse en términos matemáticos.

La posibilidad de instruir al niño en las matemáticas es bastante alta ya que para ello sólo se requiere de un libro de texto, un programa y alguien con algún conocimiento de matemáticas. Formar al niño desde las matemáticas en el conocimiento matemático es algo muy distinto. Para que esto último ocurra se necesita maestros que, además de poseer el saber matemático, sean investigadores profundos en lo relacionado con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

Formar al estudiante en el pensamiento matemático, en consecuencia, debe ser un objetivo deseable del buen docente de matemáticas. Para ello, éste debe considerar, ante todo, los intereses del niño así como los intereses del entorno sociocultural en el que él está inmerso. El docente debe, entonces, preocuparse por potenciar las capacidades del niño puesto que ellas son poderosas herramientas mentales productoras de cultura. A medida que estas herramientas se cualifican, el niño estará cada vez mejor preparado para identificar una situación problema y para tomar las acciones que permitan su solución.

En resumen, las matemáticas son producto del quehacer intelectual del ser humano. Como tal, evolucionó durante el siglo XX y seguramente seguirá evolucionando en este milenio. En su progresiva evolución las matemáticas han traspasado los límites de su círculo de acción y han penetrado en otras disciplinas científicas. Su valiosa contribución al desarrollo no sólo de las llamadas ciencias naturales sino, también, al de las ciencias encargadas de estudiar el comportamiento humano así lo ratifica. Las matemáticas son importantes entonces por los principios que imponen quienes crean matemática. Por ésta razón son consideradas como la piedra angular de todo pensamiento científico.

Crear matemáticas es un arte que debe ser ejercitado por los estudiantes en la clase con la orientación del docente. El estudiante ciego integrado en la escuela regular no puede ser privado del placer que significa hacer, crear matemática. El también tiene derecho, al igual que los demás estudiantes de la clase, a formarse en las matemáticas, es decir, a desarrollar su pensamiento lógico - matemático. Pero, ¿cómo aprenden matemáticas los niños y el niño ciego en particular?, ¿Cómo realizan las tareas matemáticas?, ¿Cómo desarrollan los estudiantes su pensamiento lógico - matemático? A estas preguntas sólo la psicología puede dar respuesta. Es de gran importancia, entonces, conocer los aportes que ha hecho la psicología a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

3. La Psicología y las Matemáticas.

La psicología es una de las ciencias encargadas de estudiar el comportamiento de los seres humanos. La enseñanza y el aprendizaje en general hacen parte de éstos comportamientos que contribuyen en gran manera al desarrollo de las sociedades. Entre las teorías tradicionales del aprendizaje se encuentra la teoría estímulo - respuesta preconizada por las diferentes variantes del conductismo. Los seres humanos aprenden, según los conductistas, si se les presenta una información (estímulo) y son capaces de anteponer una respuesta. Los defensores de ésta teoría, sin embargo, no se preocuparon por conocer lo que sucedía en la mente del individuo desde el momento en que recibía la información hasta cuando daba una respuesta al interrogante que se le planteaba. En oposición a ellos, surgieron algunas corrientes psicológicas interesadas en los procesos del pensamiento y en la manera como ellos inciden en el aprendizaje del ser humano y particularmente en el aprendizaje de las matemáticas.

Una de éstas corrientes psicológicas la conformaron los psicólogos de la Gestalt. Aunque la preocupación inicial de éstos la constituyó el fenómeno de percepción como proceso mental, extendieron sus investigaciones hacia el campo del aprendizaje humano. Los gestaltistas afirman que la mente humana interpreta los estímulos que llegan a los sentidos de acuerdo con ciertos principios organizativos que le permiten al individuo algún tipo de comprensión. Para ellos, la percepción no es simplemente la suma de los estímulos que llegan a los sentidos sino que el perceptor inicia una búsqueda de significados de lo que recibe sensorialmente; aportando como ser pensante que es, los principios organizativos de su mente. La forma como cada individuo registra los principios organizativos de su mente es asemejada por los psicólogos de la Gestalt a la forma como ese mismo individuo organiza sus pensamientos.

Uno de éstos psicólogos, Wertheimer, notó con preocupación como los docentes de matemáticas fomentaban entre los estudiantes el hábito de aplicar los algoritmos de una manera carente de sentido; coartando la tendencia natural que tienen los niños de ver las cosas como una totalidad estructurada. En vez de éste aprendizaje memorístico carente de sentido, los psicólogos de la Gestalt proponen un aprendizaje productivo basado en la organización de un conjunto de ideas relacionadas estructuradamente; un aporte valioso de los psicólogos de la Gestalt a las matemáticas es el relacionado con la enseñanza y el aprendizaje de conceptos. Para ellos, los niños son capaces de descubrir los conceptos matemáticos si se les proporciona un material relevante y se les permite ensayar y equivocarse; organizar sus ideas hasta encontrar por si mismos las reglas y relaciones que dan origen al concepto buscado. Los niños deben ser estimulados a formular ellos mismos los conceptos que así se interiorizan más a si los reciben pasivamente explicados por el profesor. El niño sólo aprende los conceptos matemáticos cuando es capaz de atribuirle significado a las acciones que ejerce sobre el material que le proporciona el docente.

Ahora bien, al abordar el tema de la enseñanza y del aprendizaje de las matemáticas hay que tener en cuenta las investigaciones realizadas por el psicólogo suizo Jean Piaget y sus colaboradores. Piaget se propuso investigar los procesos del desarrollo del pensamiento de los seres humanos y a medida que avanzó en sus proyectos investigativos llegó a afirmar que las características fundamentales del pensamiento se podían comprender en términos de las proposiciones y relaciones lógicas expresadas por los individuos. Piaget también era de la idea que se podía conocer la historia del desarrollo intelectual de la especie humana estudiando el desarrollo intelectual de los individuos ya que éstos recogen dicha historia durante su proceso de desarrollo.

La teoría piagetiana centra su atención en el aspecto dinámico de la actividad intelectual y en las estructuras psicológicas que caracterizan a los niños en las diferentes etapas de su desarrollo. Aquí el término estructura hace referencia a organizaciones mentales activas de los niños que se van cualificando hasta hacerse cada vez más sofisticadas en los niveles más altos del desarrollo del individuo. Piaget observó que ésta cualificación progresiva ocurrida en los niños a lo largo de cuatro etapas o períodos que clasificó así:

(a) Períodos sensorio - motriz. Va desde el nacimiento hasta los dos años y se caracteriza por que el niño coordina sus movimientos físicos. Es también pre - representacional y pre - verbal.

(b) Período pre- operacional. Va desde los dos hasta los siete años y se caracteriza por el uso que hace el niño del lenguaje pre - lógico para representar las acciones.

(c) Período de operaciones concretas. Va de los siete a los once años y se caracteriza por que el niño adquiere un pensamiento lógico limitado y estrechamente ligado a la realidad física.

(d) Período de operaciones formales. Va de los once a los quince años y se caracteriza por que en él se adquiere el pensamiento lógico, abstracto e ilimitado.

El conocer las etapas de desarrollo del niño permite al docente reflexionar sobre qué puede aprender el niño de una determinada edad, evitando así obligarlo a tratar de comprender algo para lo cual no está mentalmente preparado.

Según Piaget, los conocimientos no los absorbe el niño del medio que los rodea ni brotan tampoco con su proceso de maduración. Más bien, el aprendizaje se presenta cuando las estructuras intelectuales del niño activamente interactúan con su entorno socio- cultural. El aprendizaje es para Piaget un proceso de construcción de nuevas estructuras mentales al interactuar el sujeto con la realidad. Las acciones del niño sobre los objetos lo conducen a la construcción de nuevas ideas que van más allá de la simple percepción física de simples objetos, es decir, a la construcción del significado. Este proceso de construcción se inicia cuando el niño es capaz de integrar (asimilar) la nueva información a las estructuras de comprensión de la realidad que ya posee. La construcción de significado culmina cuando el niño acomoda la nueva información a sus estructuras previas; presentándose entonces un enriquecimiento, una mayor interconexión de dichas estructuras.

En el caso específico de las matemáticas en la escuela elemental, cabe recordar que el niño en edad escolar se encuentra en el período de operaciones concretas en la cual puede adquirir un pensamiento lógico limitado al ponerlo en contacto con su realidad física. La comunicación con la realidad física, con material concreto, posibilita al niño la adquisición de ideas lógico - matemáticas como la noción de cantidad y el razonamiento espacial. La etapa de operaciones concretas, en consecuencia, es fundamental para la comprensión de nociones matemáticas a tal grado que, a juicio de los piagetianos, la enseñanza de la matemática elemental sin la aparición del pensamiento operatorio sólo llevará al niño a una comprensión limitada del conocimiento matemático; a una capacidad también limitada para razonar y generalizar por sí mismo.

la enseñanza de la matemática elemental, por lo tanto debe ajustarse al nivel de desarrollo intelectual que tenga el niño. Haciendo esto se logrará que el niño aprenda significativamente las nociones de la matemática elemental y estarán en capacidad de construir nuevos significados, es decir, nuevas nociones más avanzadas de las matemáticas. A éste respecto Bruner afirma: "... una vez que el sujeto haya aprendido algo en la forma adecuada a su nivel de desarrollo, podrá avanzar hacia otras formas más complejas y precisas de conocimiento y de uso del conocimiento"4.

Piaget y sus colaboradores, en consecuencia, hicieron valiosos aportes al aprendizaje y específicamente al aprendizaje de las matemáticas. Para facilitar el nivel de comprensión de los niños Piaget establece algunos principios que son de gran utilidad para los docentes. Estos principios son:

(a) Aprendizaje constructivo. Comprender es inventar o reinventar; descubrir o redescubrir, construir uno mismo las nociones matemáticas. Esto significa que hay que permitirle al niño ensayar diferentes caminos al enfrentarse a una determinada situación de aprendizaje; cometer errores y corregir la senda hasta hallar lo que se busca. Se requiere para ello de materiales adecuados manejables por los niños así como de ambientes pedagógicos libres de presiones o dudas sobre las reales capacidades de los estudiantes, incluyendo al estudiante ciego.

(b) Representaciones concretas. Los conceptos matemáticos deben representarse con materiales concretos. Los niños son capaces de pensar en forma operatoria sólo cuando actúan sobre los objetos o situaciones que se encuentren físicamente presentes siendo capaces, además, de abstraer de ésa realidad física los conceptos matemáticos que se desea que aprenda.

(c) El entorno social. Esto hace referencia en la clase de matemáticas a la comunicación, al diálogo permanente que debe existir entre el docente con sus alumnos al igual que entre los mismos alumnos. La interacción social en el aula permite al niño corregir las concepciones de su mente y a construir nuevas y mejores estructuras intelectuales. Al ampliar su mundo social con la edad, el niño pronto se percata de que no siempre las personas que con él interactúan tienen que validar su modo de pensar o de ver la realidad.

(d) Entrevista clínica. Para aplicar éste principio en la clase de matemática, el docente puede enfrentar a los niños, utilizando materiales concretos, a conflictos cognitivos (situación de aprendizaje muy cercana al nivel de desarrollo intelectual del niño) y estar atento a las respuestas tanto verbales como gestuales de ellos. No sólo lo que se dice en forma verbal o escrita sino también los gestos de los niños le aportan datos al docente que le permiten percibir en detalles los razonamientos de cada niño, en especial del niño ciego, y deducir así sus procesos de pensamiento.

Para enseñar las matemáticas, en consecuencia, no basta con el saber matemático que posee el docente. Se requiere, además, que éste conozca con precisión en qué nivel de desarrollo intelectual se encuentran los alumnos, y asegurarse así de lo que ellos están en capacidad de aprender en un momento dado. Otros psicólogos cognitivos como Bruner (aquí citado), Ausubel y Vigotsky también han investigado y reflexionado con respecto a éste asunto. Conviene, por tanto, que el docente poseedor del saber matemático se preocupe también por conocer cómo aprenden los alumnos, incluyendo al alumno ciego. De ésta manera, estará en capacidad de comprender cómo podrá enseñarles los conocimientos matemáticos.

4. CÓMO APRENDE LA MATEMÁTICA EL ESTUDIANTE CIEGO?

Las matemáticas son consideradas como una herramienta intelectual potente que proporciona privilegios y ventajas intelectuales a quienes son capaces de dominarlas. Algunos profesores de matemáticas afirman que es utópico pensar que el estudiante ciego pueda alcanzar un dominio siquiera aceptable de las matemáticas ya que la carencia de visión impide, al individuo que la padece, adquirir un conocimiento completo de las cosas. Quienes así piensan, posiblemente desconozcan que sólo en el interior de cada ser humano habita la verdad y que la persona ciega también puede ser capaz de interiorizar complejas representaciones de lo abstracto matemático puesto que para la razón cognitiva humana lo más importante es el concepto intelectual o imagen conceptual que cada individuo se forme de las cosas y no la aparente imagen formal de las mismas.

Si se le brinda la oportunidad, el estudiante ciego puede escoger el camino mas apropiado para él de acuerdo con su vocación. Para muchos ciegos, la vocación por el arte ha sido algo así como una redención; una forma de supervivencia. Esto no significa, sin embargo, que no hayan existido, existan o, sigan existiendo ciegos con alguna vocación científica y deseosos, al igual que Newton, de iniciar una travesía por el mar de la ignorancia en busca de la verdad objetiva de la ciencia. El niño ciego que llega a la escuela, como los demás niños, es también un científico en miniatura, un potencial amante de la ciencia y como tal hay que verlo y orientarlo intelectualmente en el camino que él libremente escoja de acuerdo con su vocación.

Éste pequeño científico ciego que llega a la escuela, sin embargo, sólo acude a sus disposiciones intuitivas ya que carece de un pensamiento estructurado que lo pudiera elevar a la categoría de científico. El carácter intuitivo de la mente infantil hace que el niño ciego cometa muchos errores; pero, a medida que su pensamiento se va estructurando, estos errores se reducen considerablemente. Se hace necesario, por tanto, potenciar el pensamiento lógico - matemático del niño ciego desde muy temprana edad teniendo en cuenta que la lógica es la ciencia de las leyes del pensamiento.

Una enseñanza verbal de la matemática, sin embargo, no es suficiente para potenciar el pensamiento lógico - matemático del niño ciego; sólo con la ayuda de mediadores se puede lograr éste objetivo. Para el trabajo pedagógico con el estudiante ciego y los demás niños en el aula regular el maestro puede utilizar los bloques lógicos creados por Z. Diennes. Los bloques lógicos permiten, tanto al niño ciego como a los niños videntes, realizar operaciones lógicas como las clasificaciones aditivas y multiplicativas. Puede el niño ciego, también, construir secuencias lógicas con dichos bloques atendiendo a los cuatro atributos de los mismos incluyendo el color. Para que el niño ciego participe de todas las actividades programadas por el maestro regular con los bloques lógicos es necesario hacer algunas adaptaciones a éstos. Se puede, por ejemplo, hacer una muesca sobre las caras que determinan la forma de los bloques azules; dos muescas en forma de equis identifican a los bloques rojos. Los bloques sin marca alguna serán los amarillos. Con éstas adaptaciones a los bloques lógicos el niño ciego podrá trabajar en grupos con sus compañeros; incluyendo aquellos ejercicios en los que intervenga el atributo del color. El maestro regular deberá asegurarse de que el niño ciego participe activamente en los grupos de trabajo. A medida que el niño ciego va estructurando su pensamiento, el maestro regular deberá exigirle que dé explicaciones a sus acciones a fin de explorar el pensamiento del niño; de conocer el porqué de sus respuestas.

El niño ciego, por tanto, debe ser iniciado en las operaciones lógicas de clasificación con los bloques lógicos desde muy temprana edad. Se trabajará primero con el niño las clasificaciones aditivas, es decir, teniendo en cuenta un solo atributo de los bloques. Luego, las clasificaciones multiplicativas, o sea tomando dos o más atributos de los bloques. El manejo eficaz de las clasificaciones multiplicativas ayudará al niño ciego y a los demás niños de la clase a comprender las operaciones de intersección y unión de conjuntos. Los diagramas de Venn elaborados en alto relieve son de gran ayuda en el trabajo pedagógico con niños ciegos integrados en el aula regular.

Para la intersección de conjuntos, por ejemplo, utilizando los bloques lógicos adaptados y los diagramas de Venn en alto relieve, al niño ciego se le pide que coloque dentro del círculo de la izquierda del diagrama los bloques de color rojo. Luego se le pide que coloque dentro del círculo que está a la derecha del diagrama los bloques de forma triangular. En la parte que corresponde a la intersección de conjuntos en el diagrama de Venn el niño ciego deberá colocar los bloques rojos de forma triangular (clasificación multiplicativa). Utilizando las diferentes combinaciones con dos atributos de los bloques, el niño ciego con sus compañeros de aula realizarán alrededor de 50 ejercicios sobre intersección de conjuntos que, a mi juicio, son suficientes para interiorizar éste concepto. El concepto de vacío llegará al niño ciego como corolario del de intersección. Al pedírsele al niño que coloque en los círculos bloques lógicos con el mismo atributo, triangulares en el círculo de la izquierda y rectangulares en el de la derecha, la intersección de éstos dos conjuntos es la clase vacía puesto que no existen bloques que sean a la vez triangulares y rectangulares.

Los niños ciegos pueden también comprender de igual manera la operación de unión de conjuntos con los bloques lógicos y los diagramas de Venn. A los niños, ciegos o videntes, les cuesta trabajo entender por qué la unión de dos conjuntos no disyuntos no es igual a la suma de sus elementos o, por qué los elementos comunes no se repiten; aunque efectúen esta operación mecánicamente. Utilizando los bloques lógicos para la unión de conjuntos, el niño ciego podrá observar que la unión de los 16 bloques rojos con los 12 de forma triangular no da 28 elementos sino 24, ya que existen 4 bloques que son a la vez rojos y triangulares.

Los niños ciegos también pueden ser orientados por el maestro regular para realizar secuencias lógicas con los bloques creados por Diennes; atendiendo a las diferencias de atributos entre ellos. El maestro puede reunir a los niños en pequeños grupos y pedirles inicialmente que construyan una secuencia con los 48 bloques en la que cada bloque se diferencie del anterior en un atributo escogido libremente por el niño. Poco a poco se aumentará la complejidad de éstos ejercicios disminuyendo gradualmente el número de bloques y aumentando la diferencia de atributos entre los mismos en las secuencias. Particularmente he realizado éste trabajo con bloques lógicos con niños ciegos de primaria y secundaria en el aula especializada con muy buenos resultados. Considero, sin embargo, que lo más importante sería que el maestro regular efectuara éste trabajo en su aula. Los documentos "Los Bloques Lógicos" y "Cómo Utilizar los Bloques Lógicos" tienen para el maestro las orientaciones básicas para el uso de éste material. No obstante, la inventiva del maestro, su creatividad será lo que le permitirá el manejo eficaz de éste excelente mediador que desarrolla el pensamiento lógico - matemático del niño ciego.

Las regletas de Cuisinaire son también excelentes mediadores que el maestro regular puede utilizar para la enseñanza de la matemática del niño ciego. Estas regletas también pueden ser adaptadas para que el niño ciego pueda trabajar con los demás niños en el aula regular. Al igual que con los bloques lógicos, dicha adaptación podría hacerse de la siguiente manera: para la familia de regletas rojas (roja, rosada, café) se puede hacer una pequeña muesca centrada sobre las cuatro caras rectangulares de las regletas. De igual manera, dos muescas identifican a la familia de verdes (verde claro, verde oscuro, azul) y, tres muescas para la familia de regletas amarillas (amarilla, zanahoria). Las regletas blancas y negras no tendrán marca alguna.

Es muy posible que el manejo de éstas regletas tome al niño ciego un poco mas de tiempo que a los demás niños de la clase. Pero, logrará su dominio con absoluta seguridad. El propósito de adaptar las regletas al igual que los bloques lógicos, sin embargo, no es que el niño ciego identifique los colores. El objetivo único, mas bien, es brindarle todas las oportunidades que tienes sus demás compañeros a fin de que compita sanamente con ellos en un área tan compleja como la matemática.

Mediante el uso de las regletas de Cuisinaire el niño puede realizar actividades de seriación, interiorizará el concepto de longitud e iniciará la composición y descomposición de números. Jugando libremente con las regletas al principio, el niño ciego puede ir comparando sus tamaños; encontrar la regleta equivalente en longitud a otras dos (adición); Hallar también la regleta equivalente en longitud a varias del mismo tamaño (multiplicación).

El niño ciego integrado en preescolar, aunque no distinga aún las regletas por colores, puede ser iniciado por su maestra en el lenguaje matemático al darle, por ejemplo, regletas azules y pedirle luego que de un grupo de regletas busque únicamente dos que al juntarlas longitudinalmente sean equivalentes a la azul; encontrando todas las combinaciones posibles. Después que el niño ha hecho estas combinaciones, la maestra puede utilizar expresiones como: una roja mas una negra nos da una azul; una amarilla mas una rosada nos da una azul. O: una azul menos una roja nos da una negra; una azul menos una amarilla nos da una rosada; etc., que van relacionando al niño con el lenguaje utilizado para la adición y la sustracción. Una vez que el niño ciego asocia el color o el tamaño de las regletas con su equivalente numérico (números de 1 a 10) estará en condiciones de construir él mismo, en primer grado las adiciones y sustracciones básicas y, a partir del segundo grado, las multiplicaciones y divisiones básicas. Las regletas de Cuisinaire, por tanto, son también excelentes mediadores que ayudan al niño ciego a comprender de manera significativa conceptos matemáticos. Este material también lo he implementado con éxito con niños ciegos en el aula especializada.

Para que el estudiante ciego comprenda los algoritmos de las operaciones fundamentales de la aritmética están los ábacos abiertos como mediadores. El maestro regular debe utilizar el ábaco abierto con todos los niños a fin de que logren la comprensión de tales algoritmos. Mas tarde, al niño ciego se le enseñará a utilizar el sorobá (ábaco japonés adaptado para ciegos) como una calculadora manual que le permitirá realizar las operaciones de la aritmética con mayor rapidez; dejando también una opción de que el niño ciego decida mas adelante utilizar la calculadora parlante. Utilizando el ábaco abierto como mediador, el niño ciego podrá comprender significativamente el conteo operatorio y las operaciones en bases diferentes a la base 10. Se sugiere al maestro regular seguir las orientaciones dadas por Orlando Meza Betancour en el texto Camino a la Aritmética, Un Enfoque Constructivísta que puede encontrar en el baúl de Jaibaná.

Un tema difícil de comprender en el área de matemáticas, tanto por el niño ciego como por los videntes, es el de los números fraccionarios y las operaciones con los mismos. Para facilitar la comprensión de éste tema, en la actualidad estoy implementando un material elaborado en regletas de madera de diferente longitud distribuidas así: 1 regleta de 48 cm que representa la unidad; 2 regletas de 24 cm para los medios; 3 regletas de 16 cm para los tercios; 4 de 12 cm para los cuartos; 6 de 8 cm para los sextos; 8 de 6 cm para los octavos; 12 de 4 cm para los 12avos; 24 de 2 cm para los 24avos. Para facilitar aún más al niño ciego el trabajo con éstas regletas, se les puede también diferenciar con muescas así: una muesca centrada en ambas caras de la regleta para medios, cuartos y octavos. De igual manera, dos muescas paralelas o en forma de equis para tercios, sextos y doceavos. Las regletas de 24avos pueden quedar sin marca puesto que por su tamaño son muy fáciles de identificar.

Para el trabajo inicial con estas regletas, el maestro regular da al niño ciego la regleta correspondiente a la unidad y luego le entrega las dos equivalentes a los medios; pidiéndole que las coloque sobre la primera. Una vez que el niño ciego descubre que uniendo estas dos regletas longitudinalmente son equivalentes en tamaño a la mayor, el maestro procederá a darle al niño el conocimiento social, es decir, que la regleta mayor es la unidad y que cada una de las menores es 1/2. El maestro puede utilizar la misma estrategia para las demás regletas equivalentes a tercios, cuartos, etc.

Con la orientación del maestro el niño ciego puede descubrir relaciones como: un cuarto es la mitad de un medio; un sexto es la mitad de untercio; etc. La comprensión y posterior memorización de estas relaciones ayudará al niño ciego a comprender también la adición y sustracción de fraccionarios heterogéneos. La adición y sustracción de homogéneos resulta, a mi juicio, muy fácil de entender con éste material. Al pedírsele al niño que sume con las regletas, por ejemplo, 1/2 mas 1/3, el niño deberá recordar que puede cambiar dos regletas equivalentes a sextos por 1/3 ya que 1/6 es la mitad de 1/3. El maestro plantea ahora al niño la posibilidad de cambiar la regleta correspondiente a 1/2 por sextos; encontrando el niño que puede cambiar 1/2 por 3/6 y que ahora tiene una suma de fraccionarios homogéneos, es decir, 3/6 mas 2/6. Utilizando dos juegos de regletas el niño ciego podrá acceder fácilmente al concepto de número mixto. Una vez que el niño ha comprendido el tema de fraccionario y sus operaciones con las regletas, se le enseñará en el aula especializada el manejo de éstas operaciones con el sorobá. Experimentando con la calculadora parlante, el niño ciego hallará que su uso es inadecuado en el tema de fraccionarios y que deberá utilizar su calculadora manual.

De igual manera se puede trabajar con el niño ciego la sustracción de fraccionarios heterogéneos. Para restar con las regletas, por ejemplo, 5/6 menos 3/8, el niño por tanteo encuentra que puede cambiar cada regleta equivalente a 1/8 por 3 correspondientes a 1/24. Así los 3/8 se cambian por 9/24. El niño encontrará también que los 5/6 se pueden cambiar por 20/24; quedando entonces una sustracción de fraccionarios homogéneos, es decir, 20/24 menos 9/24.

Un material similar a las regletas es el formado por un círculo que representa a la unidad; dos semi - círculo representado a medios; ángulos centrales de 120, 90, 72, 60, 45, 40, 36, 30, 24, 20, 18 y 15 grados para tercios, cuartos, quintos, sextos, octavos, novenos, décimos, doceavos, quinceavos, 18avos, 20avos y 24avos respectivamente. Los círculos deben tener 20 cm de diámetro y ser elaborados en cartón grueso para un fácil manejo por parte del estudiante ciego.

Como se puede observar, se amplía un poco mas el trabajo con números fraccionarios con éste material puesto que 360° de la circunferencia tienen mas divisores que 48cm de la regleta unidad. De manera similar a los otros materiales propuestos en éste trabajo, signos convencionales ayudarán al niño ciego a identificar las fracciones representadas por los ángulos centrales a partir de los que equivalen a quintos puesto que medios, tercios y cuartos resultan fáciles de identificar. El juego de piezas que poseo y que estoy implementando en la actualidad tiene las siguientes características: un punto Braille para los octavos; dos puntos Braille para sextos, novenos, 12avos, 18avos y 24avos; tres puntos Braille para quintos, décimos, 15avos y 20avos.

Tanto las regletas como este último material son una ayuda valiosa para la comprensión de números fraccionarios y las operaciones de adición y sustracción con ellos. Para la multiplicación y división, sin embargo, este material no parece ser el adecuado. Queda flotando, entonces, investigar si éste u otro material similar se puede utilizar para enseñar éstas operaciones o si se continúa con la forma tradicional de enseñanza de las mismas utilizada hasta hoy.

Ahora bien, la comprensión de algoritmos para las operaciones de la aritmética es importante como también lo es adquirir habilidades y destrezas en la ejecución de tales operaciones. Pero lo más importante, no obstante, es que el estudiante ciego sea formado en su pensamiento matemático como lo enfatizan los actuales Lineamientos Curriculares para el área de las matemáticas propuestos por el M.E.N. El niño ciego, al igual que los demás niños de la clase, deben ser enfrentado a situaciones problémicas donde no exista la posibilidad de utilizar un algoritmo; obligándolo así al uso de procesos heurísticos o de búsqueda, a organizar sus esquemas anteriores, a la elaboración de hipótesis a efectuar razonamientos a emitir juicios de valores. Durante el ciclo de la enseñanza básica, pues, el niño ciego tendrá que apropiarse de contenidos que tienen que ver con sistemas matemáticos (sistema numérico, sistema geométrico, sistemas de medidas, sistemas de datos, sistemas algebraicos y analíticos) que se constituyen en herramientas para potenciar el pensamiento matemático del niño ciego.

CONCLUSIÓN

Una de las vivencias que recuerdo con un niño ciego de 7 años fue cuando le pedí que colocara a su derecha tres bloques lógicos: amarillo_circular_grande_grueso, amarillo_triangular_grande_grueso, amarillo_cuadrangular_grande_grueso; y, a su izquierda los bloques: azul_circular_grande_grueso, azul_triangular_grande_grueso, azul_cuadrangular_grande_grueso. Luego le entregué el bloque rojo_triangular_grande_grueso y le pregunté que donde lo colocaría. A las respuestas del niño yo hacía nuevas preguntas que él analizaba hasta que logró cambiar la clasificación que tenían los bloques por color por otra en la que en atributo principal era la forma. Éste mismo niño logró construir, ya con 8 años de edad, secuencias lógicas con 16 bloques del mismo color. En ésta construcción, cada bloque debía diferenciarse del anterior en dos atributos; el último bloque debería diferenciarse, a la vez, del anterior y del primero en dos atributos, es decir, construir una figura cerrada con ésta secuencia de bloques. Estos ejercicios y otros más complejos los realizó otro niño ciego cuando cursaba sexto y séptimo grado de secundaria.

Sería muy largo explicar aquí todo lo que he hecho con estudiantes ciegos integrados en una escuela regular aunque, reitero, que mi trabajo lo he realizado en el aula especializada. Ya he brindado orientaciones a algunos maestros que tienen niños ciegos en su aula respecto al manejo del material que expuse en éste documento y lo seguiré haciendo puesto que, como afirmé previamente, lo más importante es que el maestro regular se apropie de éste conocimiento y lo utilice en el aula de clase ya que así le estarán brindando al estudiante ciego las mismas oportunidades que da a los demás niños de apropiarse significativamente del conocimiento matemático.

El trabajo pedagógico que he realizado con estudiantes ciegos, ha sido una experiencia interesante y al mismo tiempo gratificante pedagógicamente hablando. He podido corroborar a lo largo de dicha experiencia lo que he leído varias veces en el texto "Obras Completas de Vygotski", donde encontramos lo siguiente: "...el ciego puede conocerlo todo, comprenderlo todo". Para que esto pueda ocurrir, no obstante, se requiere que los maestros que trabajan con niños ciegos integrados sean hábilmente creativos, y realmente interesados en potenciar capacidades en el estudiante ciego.

Bibliografía.

> Belinski G. I.. Tiflopsicología. Impreso en Rusia. 1990.

> Bruner Jerome. S. Desarrollo Cognitivo y Educación.

Ediciones Morata, S.A. Madrid. 1988.

> Bustos Cobo Félix. Aprendizaje humano: alternativa Piagetiana. Calderón y Gutiérrez impresos. Bogotá, D.C.1987.

> Crovetti Giacomo. Educación Lógico- matemática /1.

Editorial Cincel, S.A. Impreso en Madrid- España. 1982.

> Fernández del Campo José Enrique. La enseñanza de la matemática a los ciegos. Impreso en Grefol, S.A. 1986.

> Florez Ochoa Rafael. Hacia una pedagogía del Conocimiento. McGraw- Hill. Santafé de Bogotá - Colombia. 1994.

> Labinowicz ED. Introducción a Piaget. Pensamiento - aprendizaje - enseñanza. Fondo Educativo Interamericano. U.S.A. 1987.

> Meza Betancour Orlando. Camino a la Aritmética I. (Un enfoque constructivista). Departamento de matemáticas. Universidad de Antioquia.

> Meza Betancur Orlando. Criterios y Estrategias para la enseñanza de las matemáticas. Universidad de Antioquia. Colombia- 1994.

> Metodología de la enseñanza de la matemática. Ministerio de educación. Editorial pueblo y Educación, 1992. Cuba.

> Pérez Miranda Royman, Gallego- Badillo Rómulo. Corrientes constructivistas. Mesa redonda Magisterio.

Colombia - 1995.

> Piaget J., Choquet G., Dieudonné J., Thom R. y otros.

La enseñanza de las matemáticas modernas. Alianza editorial. Madrid. 1986.

> Resnick Lauren B., Ford Wendy W.. La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos. Paidós. España. 1981.

> Skemp R. Psicología del aprendizaje de las matemáticas. Ediciones Morata. Madrid. 1980.

> Turner Martí Lidia, Chavez Rodríguez Justo. Se aprende a aprender. Editorial pueblo y educación. Playa, Ciudad de la Habana, 1989.

E.mail: josearias46@hotmail.com

1 LICENCIADO EN ADMINISTRACIÓN EDUCATIVA Y ESPECIALISTA EN DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

2 RUSSELL,Bertrand. La enseñanza de la matemática moderna. Pág. 76.

3 BRUNER, Jerome. Desarrollo cognitivo y educación. pág.83.

4 Ibidem

---------------

2 RUSSELL,Bertrand. La enseñanza de la matemática moderna. Pág. 76.

3 BRUNER, Jerome. Desarrollo cognitivo y educación. pág.83.

4 Ibidem

---------------